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发现,表达式的值不覆盖所有剩余类,而是周期性地取{1,2,3}的子集。
结论:在模5意义下,表达式的值形成周期性序列。
3.一般??的情况:
我们关注??^2+??+1模??是否恒为非零或覆盖所有剩余类。
对于??=7,可以发现它的值可能为{1,2,3,4,5,6},但永远不会是0。
这种情况与??^2+??+1是否可以被模??整除,即是否有解密切相关。
“由此,我们可以得到以下两个现象。第一:如果??^2+??+1≡0模??没有解,则其值在模??下形成一个循环序列,且永不为零;第二:如果有解,??^2+??+1在模??下表现为具有根的多项式,其值会表现出不同的分布规律。”
“完了?”听得一头雾水的黄先发问。
“嗯。”
脸上现出一丝解脱的黄先发发现陆兮在点了点头后,却丝毫没有停下来的迹象。
“所以,??^2+??+1在模??的整数环中表现出的周期性和根的分布反映了递推式的数学特性,其实还能为数论中的质数生成问题提供研究工具。比如,伪随机数生成器和质数筛选。”
听到伪随机数生成器和质数筛选的胡文亮的眼神又亮了一下,发现不对的黄先发慌忙想要捂住他的嘴巴,可是胡文亮的下一句话已经脱口而出。
“能说说伪随机数生成器和质数筛选吗?”
“当然。”
已经理顺了思路的陆兮现在是有求必应。
“??^2+??+1在模??的周期性行为,可以被用作生成伪随机序列。通过调整模数??和初始值??_0得到不同的循环长度和分布特性。”
“模??的周期性可以用于研究类似表达式生成质数的可能性。如果表达式在模??下的根的分布有某种规律,可能为构造质数生成算法提供启发。”
“说完了?”
“综上所述,有限域中的行为常常能揭示整数域中的深层规律,为质数的分布模式提供理论支撑。”
已经听到晕头转向的黄先发听陆兮的话里总算来了综述两个字,不由得长长吐了一口气。
我真傻,真的。
但知道陆兮擅长解题,不知道她还擅长总结题目背后的数学思想。
一道被他拿出来耍乐子用的八九年级的练习题,硬是让她总结出来了题目背后的递推关系和质数生成规律。
辅导老师都没有这么能说的。
胡思乱想着,本以为终于结束的陆兮式数学课堂的黄先发准备拿回去草稿纸,不料陆兮忽然又来了一句。
“其实这道题背后不仅仅只有递推构造和质数生成。”
黄先发抬头,看到陆兮容光焕发,神采飞扬,眼瞅着这一次是不听完,走不了了,干脆一咬牙,正襟危坐回去。
一副还有什么,一并倾泻过来的大义凛然英勇就义的表情。
“我想了一下,这道题其实还能延伸到多项式的质数性问题,模算术和周期性,代数数论中的几何意义,质数分布渐近分析等等。”
“就拿其中的多项式质数性问题来说吧,这道题完全可以作为经典例子来讨论一下巴赫猜想。”
……
这下好了,让她说,她说到巴赫猜想去了。
这可是巴赫猜想,猜想啊,她能说到什么时候?
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